「暑中・残暑見舞」そのものの習慣は海外にはないので、説明的な英語表現となります。
以下の様に言えば、「暑中・残暑見舞」を英語で説明できます。

An inquiry after your health during the hot season

「inquiry after」で「慰問」の意味です。

手紙、e-mailなどで、「暑中・残暑見舞」の意味で一言添えるとすれば、以下でいかがでしょうか?

I hope you are doing fine (keeping well) in this hot summer heat.

「残暑」に相当する英語の単語はないので、これも説明的な表現となります。

The lingering summer heat

「linger」 は「なかなか消えない、だらだら長引く」の様な意味です。

I hope you are doing fine (keeping well) in lingering summer heat

で、「残暑見舞い」の意味は通じると思います。

ところで、南半球であれば、日本と夏、冬が逆です。 また、国によっては夏でもそんなに暑いとは限らないので、地域の状況を確認の上、レターを出したいですね。

アメリカなどでも、季節に手紙やカード、最近ではe-mailでお互いの近況を連絡する習慣があります。 このように、季節に出す挨拶の手紙 / カード / e-male は、総称して"Season's Greetings(季節の挨拶状)"と言います。

"greeting"は"挨拶"の意味ですが、時候の挨拶の時は、"greetings"と複数形にします。